拓扑排序

给定一个有向无环图(DAG)，排出所有顶点的一个序列A满足：对于图中每条有向边(x,y),x在A中都出现在y之前，则A是该图中的顶点的一个拓扑序

拓扑排序可以判断 有向图中是否有环 ，可以生成拓扑序列

Kahn（卡恩）算法

• e[x]存点x的邻点，res存拓扑序列，d[x]存x的入度

算法流程：核心用队列维护一个入度为0的节点的集合。

1. 初始化，队列q压入所有入度为0的点；
2. 每次从q中取出一个点x放入数组res;
3. 然后将×的所有出边删除。若将边(x,y)删除后，y的入度变为0，则将y压入q中
4. 不断重复2,3过程，直到队列q为空。
5. res中的元素个数等于n,则有拓扑序；否则，有环。

题目-有向图的拓扑序列

链接：https://www.acwing.com/problem/content/850/

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，点的编号是 $1$ 到 $n$，图中可能存在重边和自环。

请输出任意一个该有向图的拓扑序列，如果拓扑序列不存在，则输出 $-1$。

若一个由图中所有点构成的序列 $A$ 满足：对于图中的每条边 $(x, y)$，$x$ 在 $A$ 中都出现在 $y$ 之前，则称 $A$ 是该图的一个拓扑序列。

输入格式

第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。

接下来 $m$ 行，每行包含两个整数 $x$ 和 $y$，表示存在一条从点 $x$ 到点 $y$ 的有向边 $(x, y)$。

输出格式

共一行，如果存在拓扑序列，则输出任意一个合法的拓扑序列即可。

否则输出 $-1$。

数据范围

$1 \le n,m \le 10^5$

输入样例：

3 3
1 2
2 3
1 3

输出样例：

1 2 3

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define int long long
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int n, m;
vector<int> e[N], res;
vector<int> d(N);

bool topsort() {
    queue<int> q;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (d[i] == 0) q.push(i);
    }
    while (q.size()) {
        auto t = q.front();
        q.pop();
        res.push_back(t);
        for (auto y: e[t]) {
            if (--d[y] == 0) q.push(y);
        }
    }
    return res.size() == n;
}


signed main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("test.in", "r", stdin);
    freopen("test.out", "w", stdout);
#endif
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        e[x].push_back(y);
        d[y]++;
    }
    if (topsort()) {
        for (const auto &item: res) {
            cout << item << " ";
        }
    } else {
        cout << -1 << endl;
    }
    return 0;
}

DFS算法

• e[x]存点x的邻点，res存拓扑序列，d[x]存x的入度

算法的核心是变色法，一路搜一路给点变色，如果有拓扑序，每个点的颜色都会从0→-1→1，经历三次变色。

1. 初始状态，所有点染色为0。
2. 枚举每个点，进入×点，把x染色为-1。然后，枚举x的儿子y,如果y的颜色为0，说明没碰过该点，进入y继续走，
3. 如果枚举完×的儿子，没发现环，则×染色为1，并把×压入tp数组
4. 如果发现有个熊孩子的颜色为-1，说明回到了祖先节点，发现了环，则一路返回false,退出程序

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define int long long
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
vector<int> e[N], res, c(N);
int n, m;

int dfs(int x) {
    c[x] = -1;
    for (auto y: e[x]) {
        if (c[y] == -1) return 0;//有环
        else if (c[y] == 0) {
            int t = dfs(y);
            if (t == 0) return 0;
        }
    }
    c[x] = 1;
    res.push_back(x);
    return 1;
}

bool topsort() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (c[i] == 0) {
            int t = dfs(i);
            if (t == 0) return 0;
        }
    }
    std::reverse(res.begin(), res.end());
    return 1;
}

signed main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("test.in", "r", stdin);
    freopen("test.out", "w", stdout);
#endif
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        e[x].push_back(y);
    }
    if (topsort()) {
        for (const auto &item: res) {
            cout << item << " ";
        }
    } else {
        cout << -1 << endl;
    }


    return 0;
}